Secondo me è fattibile, più laborioso ma fattibile
Realizzi due strutture: una esterna con le gambe fisse e il piano intero su cui metti il cuscino + una struttura più piccola che si incastra sotto quella fissa, a cui mettete le ruote, un ripiano in alto in cui appoggiare la vaschetta e un ripiano in basso per appoggiare cose ingombranti.
Lavi la cucciola, la appoggi sul cuscino, spingi velocemente il carrellino più piccolo con la vaschetta sotto la struttura fissa, sistemi la cucciola e appena hai finito vai a svuotarti la vaschetta del bagnetto